Kurt Gödel Research Center

Lehrveranstaltungen im Wintersemester 2000/2001

Siehe auch den Abschnitt Logik im Vorlesungsverzeichnis der Universität Wien.

Ort: Seminarraum 101 (Währinger Str. 25)

• Mathematische Logik I (Mathematical Logic I), Schindler, lecture 4h in German Mo 15.30–17:00 Mi 16.00–17.30, Seminarraum

Diese Vorlesung führt in die grundlegenden Ideen der modernen mathematischen Logik ein. Wir stellen die Logik erster Stufe vor, auf der die gesamte Mathematik basiert, und beweisen Gödels Vollständigkeitssatz, der besagt, dass alle wahren Aussagen der Logik durch einen Computer aufgelistet werden können. Auß;erdem präsentieren wir Gödels Unvollständigkeitssatz, der impliziert, dass kein Computer allgemein entscheiden kann, welche Aussagen der Mathematik wahr und welche falsch sind.

Es werden keinerlei Kenntnisse in Logik vorausgesetzt.

• Seminar zu Mathematische Logik I (Seminar for Mathematical Logic I), Welch, seminar 2h im German Mi 14.30–16.00, Seminarraum
• Axiomatische Mengentheorie I (Axiomatic Set Theory I), Schindler, lecture 3h in German Mo 17.00–18.15, Mi 17.30–18.30, Seminarraum

Diese auf zwei Semester angelegte Vorlesung bietet eine Einführung in die moderne Mengenlehre. Im ersten Teil werden das Zermelo-Fraenkelsche Axiomensystem (ZF) sowie Grundbegriffe wie natürliche und reelle Zahlen, Ordinal- und Kardinalzahlen, etc. vorgestellt. Wir werden sodann beweisbare Aussagen der Kardinalzahlarithmetik betrachten und schließ;lich die relative Konsistenz der Kontinuumshypothese mit ZF zeigen.

Im zweiten Semester werden wir uns mit unabhängigen Aussagen der Kardinalzahlarithmetik befassen.

Grundkenntnisse in Logik sind wünschenswert aber eventuell nicht notwendig.

• Übungen zur Axiomatische Mengentheorie I (Exercises for Axiomatic Set Theory I), Piwinger, exercise 2h in German Mo 13.30–15, Seminarraum
• Ausgewählte Kapitel der Mathematischen Logik I (Selected Topics in Mathematical Logic I), Friedman, lecture 2h in English Di Do 13.30–15), Seminarraum

This is a survey course on the foundations of pure set theory. Intended topics are listed below. Material not covered this term will be covered in the Summer term.

1. Hyperfine structure theory (Friedman-Koepke: An elementary approach to the fine structure of L, Bulletin of Symbolic Logic). After a brief presentation of Gödel's constructible universe L, I'll discuss a simplified approach to Jensen's fine structure theory of L, and apply it to prove the Square principle.
2. Set-forcing over L (Jech: Multiple Forcing, book with Cambridge University Press). I'll discuss the basic theory of set-forcings and their finite and countable support iterations, with applications to the Suslin and Borel conjectures.
3. Class-forcing over L (Friedman: Fine Structure and Class Forcing, book with de Gruyter). We will develop the general theory and establish Jensen's Coding Theorem, in the "not 0^#" case.
4. Extender models (informal notes). We will discuss an approach to the construction of inner models with large cardinals, based upon "#-iteration".
5. Fine structure theory for extender models (Schimmerling-Zeman: Square in core models, Bulletin of Symbolic Logic). My aim is to outline the Schimmerling-Zeman proof of Square in extender models.
6. Set-forcing over extender models (Cummings: Iterated forcing and elementary embeddings, Cummings: Large cardinal properties of small cardinals and Gitik: Generalised Prikry forcings and singular cardinals, the latter to appear in the Handbook of Set Theory). I'll discuss various ways to use large cardinals in the construction of set-forcings.
7. Class-forcing over extender models (Friedman: Genericity and large cardinals, preprint). I'll show how to preserve Woodin cardinals when adding a class-generic real that is not set-generic, and apply the technique to the study of projective singletons.
8. Descriptive set theory (Kechris: Classical descriptive set theory, book with Springer and Neeman: Mice and Scales). We will first examine some aspects of the set theory of the reals which are decidable in ZFC. Then we turn to the study of Neeman's technique for proving uniformisation of projective classes directly from large cardinals, without appeal to determinacy.

• Ausgewählte Kapitel der Mengenlehre I (Selected Topics in Set Theory I), Welch, lecture 4h in English Di Mi 11.30–13.00, Seminarraum

We shall look at:

1. The theory of Wadge reducibility and the notion of degree that results from assuming Axiom of Determinacy.
2. The Wadge hierarchy under AD and the canonical inner model L(R).
3. The properties of large cardinals in L(R) below Theta.

• Privatissimum: Axiomatische Mengentheorie (Advanced Seminar: Axiomatic Set Theory), Friedman, seminar 2h in English Do 15.45–17.15, Seminarraum
• Seminar für Neuroinformatik (Seminar for Computational Neuroscience), Christian, seminar 2h in German Fr 10.30–12.00, Seminarraum